Question

在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．
根据上述条件，试问：
（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）
（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？

Answer 1

分析：（1）为了决定选择哪一种加工资的方案，主要看看第10年末，哪一个方案薪金更多，故只要计算出两个方案的薪金总量即可；
（2）先计算出第n年末，依第一方案，得到的薪金；依第二方案，得到的薪金，由题意an（2n+1）＞500n（n+1），对所有正整数恒成立，最后分离出参数a，即可求得a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪．

解答：解：（1）：（1）由题意，第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列
第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）第一种方案这n年他总共的工资：12nx+1000

1000+1000(n-1)

2

×(n-1)×12=12nx+6000n（n-1）
第二种方案这n年他总共的工资：12nx+6an（2n-1）
6an（2n-1）＞6000n（n-1），即a＞

1000(n-1)

2n-1

=

1000(1- 1 n )

2- 1 n

，当n趋向于无穷大时，不等式左边趋向于500
故当a≥500时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、数列求和及函数的最值、恒成立问题，属于基础题．