Question

已知函数f（x）自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）讨论若n＜0，则n=f（0）=0，矛盾，则n只能大于等于0则得到n=n²，解得n=0或1即可求出f（x）的保值区间；
（2）根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间，2≤1-m即m≤-1时，则g（1-m）=2得m的值即可．

解答：解：（1）若n＜0，则n=f（0）=0，矛盾．
若n≥0，则n=f（n）=n²，解得n=0或1，
所以f（x）的保值区间为[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）因为g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），
所以2+m＞0，即m＞-2，
令g′（x）=1-

1

x+m

＞0，得x＞1-m，
所以g（x）在（1-m，+∞）上为增函数，
同理可得g（x）在（-m，1-m）上为减函数．
若2≤1-m即m≤-1时，
则g（1-m）=2得m=-1满足题意．
若m＞-1时，则g（2）=2，得m=-1，
所以满足条件的m值为-1．

点评：考查学生求函数定义域、值域的能力，以及利用导数研究函数增减性的能力．