【题目】已知数列{an}满足:,且an+1(n=1,2…)集合M={an|}中的最小元素记为m.
(1)若a1=20,写出m和a10的值:
(2)若m为偶数,证明:集合M的所有元素都是偶数;
(3)证明:当且仅当时,集合M是有限集.
【答案】(1)6,22;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)利用递推公式依次求出数列的前10项,推导出集合中的最小元素..
(2)推导出,当时,或,由为偶数,得到为偶数,为偶数,由此能证明若为偶数,则集合的所有元素都是偶数.
(3)推导出,当时,.从而集合.由此能证明当且仅当时,集合是有限集.
因为数列满足:,且
集合中的最小元素记为.
所以,
,
,
,
,
,
,
,
,
所以集合中的最小元素..
(2)证明:因为数列满足:,且,
集合中的最小元素为偶数.
所以,当时,或,
因为为偶数,为偶数,为偶数,
所以若为偶数,则集合的所有元素都是偶数.
(3)证明:因为数列满足:,且,
集合中的最小元素为偶数.当且仅当,
所以,当时,.
得集合.
所以,当且仅当时,集合是有限集.
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【题目】某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的两组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程;并预报当温差为时,种子发芽数.
附:回归直线方程:,其中;
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【题目】某品牌服装店为了庆祝开业两周年,特举办“你敢买,我就送”的回馈活动,规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏,赢取奖金,游戏分为以下两种:
游戏 1:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可获得元奖金;
游戏 2:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可得元奖金;
无论参与哪种游戏,未成功均没有收获,每人有且仅有一次机会,且每次游戏成功与否均互不影响,游戏结束后可到收银台领取奖金。
(Ⅰ)已知甲参加游戏 1,乙参加游戏 2,记甲与乙获得的总奖金为,若,求的值;
(Ⅱ)若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2,问:他们选择何种规则,累计得到奖金的数学期望值最大?
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【题目】已知定点,动点在轴上运动,过点作直线交轴于点,延长至点,使.点的轨迹是曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若,是曲线上的两个动点,满足,证明:直线过定点;
(3)若直线与曲线交于,两点,且,,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】为降低空气污染,提高环境质量,政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器,为保证净化器的质量,分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估,评估综合得分都在区间.已知评估综合得分与产品等级如下表:
根据评估综合得分,统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图(图表如下).
甲型 乙型
(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件,估计这件产品为二级品的概率;
(Ⅱ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件,设随机变量为其中二级品的个数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据图表数据,请自定标准,对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.
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