Question

已知椭圆C₁：

x2

4

+

y2

3

=1，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知当AB⊥x轴时，直线AB的方程为：x=1，从而点A的坐标为（1，

3

2

）或（1，-

3

2

）．因为点A在抛物线上．
所以

9

4

=2p，即p=

9

8

．此时C₂的焦点坐标为（

9

16

，0），该焦点不在直线AB上．
（II）解法一：假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由根与系数的关系可推导出求出符合条件的m、p的值．
解法二：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂y₂）．因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又过C₂的焦点F′(

p

2

，m)，所以x1+x2=

2

3

(4-p)． 由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直线AB的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

m-0

p 2 -1

=

2m

p-2

．且直线AB的方程是y=

2m

p-2

(x-1)．由此入手可求出符合条件的m、p的值．

解答：解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为：
x=1，从而点A的坐标为（1，

3

2

）或（1，-

3

2

）．
因为点A在抛物线上．
所以

9

4

=2p，即p=

9

8

．
此时C₂的焦点坐标为（

9

16

，0），该焦点不在直线AB上．
（II）解法一：假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB
的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k⁴x+4k²-12=0①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=

8k4

3+4k2

．
由

(y-m)2=2px y=k(x-1)

消去y得（kx-k-m）²=2px．②
因为C₂的焦点F′(

p

2

，m)在直线y=k（x-1）上，
所以m=k(

p

2

-1)，即m+k=

kp

2

．代入②有(kx-

kp

2

)2=2px．
即k2x2-p(k2+2)x+

k2p2

4

=0．=3 ③
由于x₁，x₂也是方程=3 ③的两根，
所以x₁+x₂=

p(k2+2)

k2

．
从而

8k4

3+4k2

=

p(k2+2)

k2

．
解得p=

8k4

(4k2+3)(k2+2)

=4 ④

又AB过C₁…C₂的焦点，
所以|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)，
则p=4-

3

2

(x1+x2)=4-

12k2

4k2+3

=

4k2+12

4k2+3

．=5 ⑤

由=4 ④、=5 ⑤式得

8k4

(4k 2+3)(k2+2)

=

4k2+12

4k2+3

，即k⁴-5k²-6=0．
解得k²=6．于是k=±

6

，p=

4

3

．
因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=±

6

(x-1)上，
所以m=±

6

(

2

3

-1)．
∴m=

6

3

或m=-

6

3

．
由上知，满足条件的m、p存在，且m=

6

3

或m=-

6

3

，p=

4

3

．
解法二：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂y₂）．
因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又过C₂的焦点F′(

p

2

，m)，
所以|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)．
即x1+x2=

2

3

(4-p)． ①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直线AB的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

m-0

p 2 -1

=

2m

p-2

，②
且直线AB的方程是y=

2m

p-2

(x-1)，
所以y1+y2=

2m

p-2

(x1+x2-2)=

4m(1-p)

3(p-2)

．③
又因为

3 x 2 1 +4 y 2 1 =12 3 x 2 2 +4 y 2 2 =12

，
所以3(x1+x2)+4(y1+y2)•

y2-y1

x2-x1

=0．④
将①、②、③代入④得m2=

3(p-4)(p-2)2

16(1-p)

．=5 ⑤
因为

(y1-m)2=2px1 (y2-m)2=2px2

，
所以y1+y2-2m=2p

x2-x1

y2-y1

．=6 ⑥
将②、③代入=6 ⑥得m2=

3p(p-2)2

16-10p

．=7 ⑦
由=5 ⑤、=7 ⑦得

3(p-4)(p-2)2

16(1-p)

=

3p(p-2)2

16-10p

．
即3p²+20p-32=0
解得p=

4

3

或p=-8(舍去)．
将p=

4

3

代入=5 ⑤得m2=

2

3

，
∴m=

6

3

或m=-

6

3

．
由上知，满足条件的m、p存在，
且m=

6

3

或m=-

6

3

，p=

4

3

点评：本题考查直线和圆锥轴线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．