Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若，α为第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用平移规律：“左加右减”，确定出f（x）平移后的解析式g（x），根据g（α）的值列出关系式，整理后得出sin（2α-）的值，由α为第一象限角，得出2α-的范围，再根据sin（2α-）的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-）的值，将所求式子中的角2α变形为（2α-）+，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意得：g（x）=sin（2x-）+1，
由A（0，-1），得sin（2α-）+1=+1，
∴sin（2α-）=，
又α为第一象限角，
∴2α-∈（4kπ-，4kπ+），k∈Z，
又0＜sin（2α-）＜＜知，
∴2α-∈（4kπ，4kπ+），k∈Z，
∴cos（2α-）=，
∴sin2α=sin[（2α-）+]=[sin（2α-）+cos（2α-）]=（+）=．
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角函数图象的变换，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．