Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC1；
（2）AC1∥平面B1CD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又AC⊥BC，BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面BCC1B1

∴AC⊥BC1．

（2）证明：设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，

∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，

又∵AC1平面B1CD，OD平面B1CD，

∴AC1∥平面B1CD．

【解析】1、由直三棱柱的特点可得，CC1⊥平面ABC即得CC1⊥AC，根据线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，从而得到AC⊥BC1。
2、根据题意作辅助线，连接OD。由已知可得BCC1B1为平行四边形，又D是AB的中点即得OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，，利用线面平行的判定定理可得证。
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，以及对直线与平面平行的判定的理解，了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．