Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．

（1）若BE=3，求几何体BEC﹣AFD的体积；
（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，FD⊥EF，

∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，

∴FD⊥AF，又AF⊥EF，FD∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC，

同理，CE⊥平面ABEF，

连结FC，将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF，

对于三棱锥A﹣CDF，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，

∴V三棱锥A﹣CDF= = =5，

对于四棱锥C﹣ABEF，棱锥高为CE=3，

∴V四棱锥C﹣ABEF= = =6，

∴几何体BEC﹣AFD的体积V=V三棱锥A﹣CDF+V四棱锥C﹣ABEF=5+6=11

（2）解：设BE=x，∴AF=x（0＜x≤6），FD=8﹣x，

∴V三棱锥A﹣CDF= ，

∴当x=4时，V三棱锥A﹣CDF有最大值，且最大值为 ，

在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，

∴CF=2 ，CD=2 ，DF=4，

∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，

又AF⊥平面EFDC，DC平面EFDC，

∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，

∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，

tan = = ，

∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为 ．

【解析】（1）推导出FD⊥平面ABEF，从而AF⊥平面EFDC，CE⊥平面ABEF，连结FC，将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF，由此能求出几何体BEC﹣AFD的体积．（2）设BE=x，则AF=x（0＜x≤6），FD=8﹣x，V三棱锥A﹣CDF= ，当x=4时，V三棱锥A﹣CDF有最大值，∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣CD﹣E的正切值．