Question

①在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与BD相切的圆内运动，设

AP

=α

AD

+β

AB

（α、β∈R），求α+β的取值范围；
②△ABC中，证明不等式

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2．

Answer 1

分析：①建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．
②利用放缩法可得

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，进而证得

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，进而根据柯西不等式，可求证出

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3≥

9

2

，综合后可得答案．

解答：解：以D为坐标原点，CD为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
直线BD的方程为x+3y=0
C到BD的距离为

1

10

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x+1）²+y²=

1

10

设P（x，y），则

AP

=（x，y-1），

AD

=（0，-1），

AB

=（-3，0）
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∵

AP

=α

AD

+β

AB

∴x=-3β，y=-α
∵P在圆内
∴（-3β+1）²+（1-α）²≤

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

②在△ABC中，a，b，c＞0
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2
又∵

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3
=(

a

b+c

+1)+(

b

c+a

+1)+(

c

a+b

+1)
=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）
=

1

2

[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

）≥

1

2

（1+1+1）²=

9

2

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

综上所述

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2

点评：①通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．
②本题考查的知识点是放缩法证明不等式和柯西不等式，难度比较大．