Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA=12，PC=6，求AB的长．

Answer 1

解：如图所示，
延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．
∵PA与⊙O相切，∴PA²=PC•PD．
设⊙O的半径为R，∵PA=12，PC=6．
∴12²=6（6+2R），解得R=9．
∵PA，PB与⊙O都相切，∴PA=PB．
又∵OA=OB，∴OP垂直平分AB．
即OP⊥AB，AB=2OE．
在Rt△OAP中，．
∴=．
∴．
分析：延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．利用切割线定理即可得出⊙O的半径R，利用切线长定理得到PA=PB，由半径OA=OB，于是可得OP垂直平分AB．在Rt△OAP中，由面积即可得出AE，从而得出AB．
点评：熟练掌握圆的性质、切割线定理、切线长定理、线段的垂直平分线的判定与性质、“等积变形”是解题的关键．