Question

19．已知直线y=kx+1与圆x²+y²-kx-my-5=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（a，b）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{kx-my-3≤0}\\{kx-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$上的任意一点，则$\frac{b+1}{a+1}$的最大值是4．

Answer 1

分析 先求出m，k，再利用区域，求出$\frac{b+1}{a+1}$的最大值．

解答 解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，
∴k=1，
圆x²+y²-kx-my-5=0的圆心坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{m}{2}$）在直线x+y=0上，所以m=-1，
平面区域$\left\{\begin{array}{l}{kx-my-3≤0}\\{kx-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$为$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，
$\frac{b+1}{a+1}$表示区域内的点（a，b），与（-1，-1）连线的斜率，由图形可得（0，3）处取得最大值4，
故答案为：4

点评 本题考查对称知识，圆的一般方程，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．