Question

在△ABC中，D为边BC上的一点，BD=16，sinB=

5

13

，cos∠ADC=

4

5

，求AD．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图所示，先由sinB及cos∠ADC的值，且两角都为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosB及sin∠ADC的值，由三角形的外角性质得到∠BAD=∠ADC-∠B，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（∠ADC-∠B），把各自的值代入求出sin（∠ADC-∠B）的值，即为sin∠BAD的值，再由sinB及BD的值，利用正弦定理即可求出AD的值．

解答：
解：∵sinB=

5

13

，cos∠ADC=

4

5

，且∠B和∠ADC都为三角形的内角，
∴cosB=

1-sin2B

=

12

13

，sin∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

3

5

，
∴sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
=

3

5

•

12

13

-

4

5

•

5

13

=

16

65

，（6分）
在△ABD中，根据正弦定理得：

BD

sin∠BAD

=

AD

sinB

，
所以AD=

BDsinB

sin∠BAD

=

16• 5 13

16 65

=25．（12分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数，同角三角函数间的基本关系以及正弦定理，属于三角函数与解三角形的综合性题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．