Question

已知函数f（x）=x-2sinx+a（x∈[0，

π

2

]），a为常数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[0，

π

2

]上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,正弦函数的图象

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=1-2cosx，令f′（x）=0，解得x=

π

3

；分别解出令f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调性，进而得出极值；
（2）由函数f（x）在[0，

π

2

]上有且仅有一个零点，因此函数f（x）取得极小值f(

π

3

)=0，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）=0，解得x=

π

3

；令f′（x）＞0，解得

π

3

＜x≤

π

2

，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0≤x＜

π

3

，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=

π

3

时，函数f（x）取得极小值，f(

π

3

)=

π

3

-2×sin

π

3

+a=

π

3

-

3

+a．
（2）∵函数f（x）在[0，

π

2

]上有且仅有一个零点，
由（1）可得：函数f（x）取得极小值f(

π

3

)=

π

3

-

3

+a=0，解得a=

3

-

π

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．