Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）证明：直线与曲线相交于两点，并求两点之间的距离.

Answer 1

【答案】（1）x+y-3=0, （2）

【解析】

（1）直线的参数方程消去参数，即可求出直线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程转化为，根据极坐标与直角坐标互换公式，由此能求出曲线的直角坐标方程．

（2）求出曲线的圆心，和半径，在根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线l的距离，根据与关系即可证明结果，然后再根据勾股定理，即可求出结果．

（方法二）将（1）得到的方程联立，化简可得一元二次方程，根据一元二次方程的判别式，即可证明结果，然后再利用韦达定理和弦长公式即可求出结果.

（1）由消去参数得直线的普通方程为

由，得，曲线的直角坐标方程为

（2）曲线即

圆心到直线的距离

所以，直线与曲线相交于两点，

两交点之间的距离为

（方法二）由得

，方程有两个不相等的实根，即直线与曲线相交于两点，

设两交点为，则，，