Question

7．已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）是奇函数，并且在（-∞，0）上是增函数，若f（-3）=0．
（1）求f（2x-1）＜0的解集；
（2）求$\frac{x}{f（x）}＜0$的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意，函数在（0，+∞）上是增函数，f（3）=0，化f（2x-1）＜0为具体的不等式，即可求f（2x-1）＜0的解集；
（2）$\frac{x}{f（x）}＜0$，可化为$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-3＜x＜0或x＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜-3或0＜x＜3}\end{array}\right.$，即可求$\frac{x}{f（x）}＜0$的解集．

解答 解：（1）由题意，函数在（0，+∞）上是增函数，f（3）=0．
∵f（2x-1）＜0，
∴f（2x-1）＜0，
∴2x-1＜-3或0＜2x-1＜3
∴x＜-1或$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴f（2x-1）＜0的解集为{x|x＜-1或$\frac{1}{2}$＜x＜2}；
（2）$\frac{x}{f（x）}＜0$，可化为$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-3＜x＜0或x＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜-3或0＜x＜3}\end{array}\right.$，
∴x＜0或0＜x＜3
∴$\frac{x}{f（x）}＜0$的解集是{x|x＜0或0＜x＜3}．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．