Question

9．函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，则函数y=f（x）-2的所有零点之和是5．

Answer 1

分析 f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得．

解答 解：∵f（x+1）为奇函数，
∴函数图象关于（0，0）对称，
即函数f（x）的图象关于（1，0）对称
∵当x＞1时，f（x）=2x²-12x+16，
当x＜1时，f（x）=-2x²-4x
令2x²-12x+16=2，
即x²-6x+7=0，
可得x₁+x₂=6，
令-2x²-4x=2，
即x²+2x+1=0，可得x₃=-1
∴横坐标之和为x₁+x₂+x₃=6-1=5
故答案为：5．

点评 本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．考查性质的灵活应用．