Question

（2011•江苏二模）必做题
随机的将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为?．
（1）求?的分布列；
（2）求?的期望值．

Answer 1

分析：（1）由题设知?的可能取值为0，1，3，结合题设条件分别求出P（?=0），P（?=1），P（?=3，由此能求出?的分布列．
（2）由?的分布列，能求出E?．

解答：解：（1）由题设知?的可能取值为0，1，3，
∵?=0表示的是从3个球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 2

种，
从剩余的2个球中任取一球，有

C

1 2

种取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 1

种，
从剩余的1个球中任取一球，有

C

1 1

种取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 1

种，
∴P（?=0）=

C 1 2 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

3

，
∵?=1表示的是先从3个球中任取1球（假设取到3号球），放入对应编号的盒中（放入3号盒中），
问题就简化为把编号为1，2的两个小球放入编号为1，2的两个盒中，两个球都是放错球，
∴P（?=1）=

C 1 1 × C 1 1

C 1 2 × C 1 1

=

1

2

，
∵?=3表示的是从3个球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 1

种，
从剩余的2个球中任取一球，有

C

1 2

种取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 1

种，
从剩余的1个球中任取一球，有

C

1 1

种取法，放入盒中是放错球的方法有

C

1 1

种，
∴P（?=3）=

C 1 1 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

6

，
∴?的分布列为：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

（2）∵?的分布列为：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

∴E?=0×

1

3

+1×

1

2

+3×

1

6

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的方差，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，易错点是?=1的合理简化．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．