Question

17．分别求适合下列条件的标准方程：
（1）实轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，焦点在x轴上的椭圆；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{1}{3}$x的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由已知，2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{b}{a}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，由此能求出焦点在x轴上的双曲线的方程；同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程．

解答 解：（1）∵椭圆实轴长为12，离心率为$\frac{2}{3}$，焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由已知，2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，
∴a=6，c=4，b²=a²-c²=20，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．…（6分）
（2）∵双曲线顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±$\frac{1}{3}$x，
∴当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{b}{a}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=1．
∴焦点在x轴上的双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=1$．…（9分）
当焦点在y轴上，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0）
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{a}{b}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=9，
∴焦点在y轴上的双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．
综上，所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的简单性质的合理运用．