Question

设向量

a

=（6cosx，-

3

），

b

=（cosx，sin2x），x∈[0，

π

2

]
（1）若|

a

|=2

3

，求x的值；
（2）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）由于向量

a

=（6cosx，-

3

），|

a

|=2

3

，利用向量的模的计算公式可得

36cos2x+(- 3 )2

=2

3

，化简并利用x∈[0，

π

2

]，即可解得x．
（2）利用数量积、倍角公式和两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=

a

•

b

=6cos2x-

3

sin2x=-2

3

sin(2x+

π

3

)+3．由于x∈[0，

π

2

]，可得(2x+

π

3

)∈[

π

3

，

4π

3

]，可得sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]，进而得出函数f（x）的最小值、最大值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（6cosx，-

3

），|

a

|=2

3

，
∴

36cos2x+(- 3 )2

=2

3

，
化为cos2x=

1

4

，∴cosx=±

1

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx=

1

2

，解得x=

π

3

．
（2）函数f（x）=

a

•

b

=6cos2x-

3

sin2x
=3(1+cos2x)-

3

sin2x
=-2

3

(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+3
=-2

3

sin(2x+

π

3

)+3．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴(2x+

π

3

)∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
∴-2

3

sin(2x+

π

3

)∈[-2

3

，3]．
∴函数f（x）的最小值、最大值分别为3-2

3

，6．

点评：本题考查了向量的模的计算公式、数量积运算法则、倍角公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．