【题目】已知函数.
(1)求的极大值;
(2)当时,不等式
恒成立,求
的最小值;
(3)是否存在实数,使得方程
在
上有唯一的根,若存在,求出所有
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)-1;(3)存在,且当
符合题意。
【解析】
(1)求导,明确函数的单调性,从而得到
的极大值;
(2) 不等式恒成立,即
恒成立,记
,求其最大值,即可得到
的最小值;
(3) 记,由
,存在
,使
在
上有零点,再证明唯一性即可.
(1),令
,得
.
当时,
,则
在
上单调递增,当
时,
,则
在
上单调递减,故当
时,
的极大值为
.
(2)不等式恒成立,即
恒成立,
记,则
,
当时,令
,得
,
当时,
,此时
单调递增,当
时,
,此时
单调递减,则
,即
,…8分
则, 记
,则
,令
,得
当时,
,此时
单调递减,当
时,
,此时
单调递增,
,故
的最小值为
.
(3)记,由
,
故存在,使
在
上有零点,下面证明唯一性:
① 当时,
,故
,
在
上无解
②当时,
,而
,
此时,
单调递减,
所以当符合题意.
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【题目】如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD,
,
,
.
(1)求证:平面BDE;
(2)当几何体ABCE的体积等于时,求四棱锥E-ABCD的侧面积.
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【题目】已知点为圆
的圆心,
是圆上的动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
,
.
(1)当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线
与圆
相切,直线
与(1)中所求点
的轨迹交于不同的两点
,
,
是坐标原点,且
时,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为
,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.
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【题目】已知直线,
.
(1)若直线,
分别经过定点
,
,求定点
,
的坐标;
(2)是否存在一个定点,使得
与
的交点到定点
的距离为定值?如果存在,求出定点
的坐标及定值
;如果不存在,说明理由.
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【题目】已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为
,将函数
的图象向左平移
个单位,得到的图象关于
轴对称,则( )
A. 函数的周期为
B. 函数
图象关于点
对称
C. 函数图象关于直线
对称 D. 函数
在
上单调
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