Question

10．如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于M，N两点，点D的坐标为$（{1，\sqrt{3}}）$，OD⊥MN交MN于点D，OM⊥ON，抛物线的焦点为F．
（1）求p的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C，过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与曲线C相交于点A，B，l₂与曲线C相交于点D，E，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0，由$x+\sqrt{3}y-4=0$与y²=2px消去x，得${y^2}+2\sqrt{3}py-8p=0$，利用韦达定理，即可求p的值；
（2）设出直线l₁的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l₂的方程与抛物线的交点坐标，代入$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答 解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由OM⊥ON，得x₁x₂+y₁y₂=0
由已知得直线MN的方程是$y-\sqrt{3}=-\frac{1}{{\sqrt{3}}}（{x-1}）$即$x+\sqrt{3}y-4=0$，
则有$（{4-\sqrt{3}{y_1}}）（{4-\sqrt{3}{y_2}}）+{y_1}{y_2}=0$，即${y_1}{y_2}-\sqrt{3}（{{y_1}+{y_2}}）+4=0$①
由$x+\sqrt{3}y-4=0$与y²=2px消去x，得${y^2}+2\sqrt{3}py-8p=0$②
所以${y_1}+{y_2}=-2\sqrt{3}p，{y_1}{y_2}=-8p$③
把③代入①得$-8p-\sqrt{3}•（{-2\sqrt{3}p}）+4=0$，解得p=2
当p=2时方程②成为${y^2}+4\sqrt{3}y-16=0$，显然此方程有实数根
所以p=2；
（2）由（1）知抛物线方程为y²=4x
由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，设为k，则l₁的方程为y=k（x-1）．
得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，于是
x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$．
设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{EB}$=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+（x₃+x₄）+1
=1+（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+1+1+（2+4k²）+1
=8+4（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≥8+4×2=16．
当且仅当k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±1时，取最小值16．

点评 此题是个难题．考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．