Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$A（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，左焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：$x+\sqrt{2}y-1=0$交椭圆于A，B两点，求△FAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，令椭圆方程为$\frac{x^2}{3t}+\frac{y^2}{2t}=1（t＞0）$，把点$A（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$代入，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线l：$x+\sqrt{2}y-1=0$过右焦点F'（1，0），由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{x=1-\sqrt{2}y}\end{array}}\right.$，得$7{y^2}-4\sqrt{2}y-4=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出△FAB的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点$A（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，由$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，得$\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}$，可令椭圆方程为$\frac{x^2}{3t}+\frac{y^2}{2t}=1（t＞0）$，
点$A（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$代入上式，得t=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）直线l：$x+\sqrt{2}y-1=0$过右焦点F'（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{x=1-\sqrt{2}y}\end{array}}\right.$，得$7{y^2}-4\sqrt{2}y-4=0$，
△=16×9=144，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$，y₁y₂=-$\frac{4}{7}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{32}{49}+\frac{16}{7}}$=$\frac{12}{7}$，
${S_{△FAB}}=\frac{1}{2}|{FF'}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}×2×$$\frac{12}{7}=\frac{12}{7}$．
∴△FAB的面积为$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．