Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．
（2）要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆（x─4）²+y²=8与（1）所求的圆的交点数．

解答：解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x-m）²+（y-n）²=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

|m-n|

2

=2

2

即|m-n|=4①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m²+n²=8②
联立方程①和②组成方程组解得

m=-2 n=2

故圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）|a|=5，∴a²=25，则椭圆的方程为

x2

25

+

y2

9

=1
其焦距c=

25-9

=4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程

(x-4)2+y2=16 (x+2)2+(y-2)2=8

，解得x=

4

5

，y=

12

5

．
即存在异于原点的点Q（

4

5

，

12

5

），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．

点评：本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中，探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆（x─4）²+y²=8与（1）所求的圆的交点数．可使问题简化．