Question

15．△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，设M为△ABC内一点（不在边界上），记x、y、z分别表示△MBC、△MAC、△MAB的面积，若z=$\frac{1}{2}，则\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$最小值为（　　）

• A． 9
• B． 8
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 如图所示，△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，可得cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，可得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
∵△ABC满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，
∴cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=$\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$=1，
∴x+y+$\frac{1}{2}$=1，解得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=$2（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥$2（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，当且仅当y=2x=$\frac{1}{3}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．