Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A+6sin2

B+C

2

=4．
（1）求角A的度数；
（2）若a=

3

，b+c=3，求b、c的值．

Answer 1

（1）∵B+C=π-A，
∴

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，
∴sin

B+C

2

=cos

A

2

，
代入已知等式得：cos2A+6cos²

A

2

=4，
即2cos²A-1+3（cosA+1）=4，
整理得：2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
∴cosA=

1

2

或cosA=-2（舍去），
∵A为三角形内角，∴A=60°；
（2）∵a=

3

，b+c=3①，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得；cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-a2-2bc

2bc

=

9-3-2bc

2bc

=

1

2

，
整理得：bc=2②，
联立①②解得：b=1，c=2或b=2，c=1．