Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明EF∥PA，即可．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量求二面角B-PD-C的正切值．

解答：解：方法1：（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点∴F为AC中点
又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA…（3分）
且PA⊆平面PAD，EF?平面PAD∴EF∥平面PAD…．（5分）
（Ⅱ） 解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD
易知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF
∴∠EMF是二面角B-PD-C的平面角…．（10分）
Rt△FEM中，EF=

1

2

PA=

2 a

4

，EM=

1

2

CD=

1

2

a，所以tan∠EMF=

EF

EM

=

2 a 4

1 2 a

=

2

2

．
故所求二面角的正切值为

2

2

…．（14分）
方法2：另解：如图，取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，
∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=

a

2

．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，
则有A(

a

2

，0，0)，F(0，

a

2

，0)，D(-

a

2

，0，0)，P(0，0，

a

2

)，B(

a

2

，a，0)，C(-

a

2

，a，0)．
∵E为PC的中点，∴E(-

a

4

，

a

2

，

a

4

)．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为

OF

=(0，

a

2

，0)而

EF

=(

a

4

，0，-

a

4

)，
且

OF

•

EF

=(0，

a

2

，0)•(

a

4

，0，-

a

4

)=0，∴EF∥平面PAD．

（Ⅱ）∵

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)，

CD

=(0，a，0)∴

PA

•

CD

=(

a

2

，0，-

a

2

)•(0，a，0)=0，
∴

PA

⊥

CD

，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD，
所以平面PDC的法向量为

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)．∵

DP

=(

a

2

，0，

a

2

)，

BD

=(-a，a，0)，
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

BD

=0可得

a 2 •x+0•y+ a 2 •z=0 -a•x+a•y+0•z=0

，令x=1，则y=1，z=-1，
故

n

=(1，1，-1)，
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

a

2 2 a× 3

=

6

3

，
即二面角B-PD-C的余弦值为

6

3

，二面角B-PD-C的正切值为

2

2

．

点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及空间二面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．