Question

【题目】已知函数，，其中，为自然对数的底数.

（1）求函数的最小值；

（2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；（2）

【解析】

（1）求出导函数，对a进行分类讨论求得函数的单调区间，即可求得最小值；

（2）求出，的值域，结合（1）的单调性和值域讨论不等关系即可得解.

（1）由题：，

，

当时，恒成立，

所以函数在单调递增，最小值为，

当时，恒成立，

所以函数在单调递减，最小值为，

当时，由得，由得，

在递减，在递增，

所以函数的最小值为

综上所述：当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；

（2）函数，，当且仅当x=0时，导数值为0，

所以在单调递增，值域为，

结合（1）可得：

当时，函数在单调递增，

，，只需，解得：，

当时，函数在单调递减，，不合题意，舍去，

当时，在递减，在递增，

，，

所以只需，解得

综上所述