【题目】已知函数f(x)= sinxcosx+sin2x+ (x∈R).
(Ⅰ)当x∈[﹣ , ]时,求f(x)的最大值.
(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c= ,f(C)=2,sinB=2sinA,求a.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)= sinxcosx+sin2x+
= sin2x+ +
= sin2x﹣ cos2x+1
=sin(2x﹣ )+1(x∈R),
当x∈[﹣ , ]时,2x﹣ ∈[﹣ , ],
令2x﹣ = ,解得x= ,
此时sin(2x﹣ )=1,
f(x)取得最大值f(x)max=2;
(Ⅱ)∵f(C)=sin(2C﹣ )+1=2,
∴ ,
∵0<C<π,∴ ,
令 ,
解得 ;
又∵sinB=2sinA,
∴ ,
∴b=2a;由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcos =3,
几a2+b2﹣ab=3,
整理得5a2﹣2a﹣3=0,
解得a=1或a=﹣ (不合题意,舍去),
∴a的值是1.
【解析】(Ⅰ)化简函数f(x)为正弦型函数,根据x∈[﹣ , ],求出2x﹣ 的范围,从而求出f(x)的最大值;(Ⅱ)根据f(C)=2求出C的值,再由正弦、余弦定理,即可求出a的值.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】某班同学利用春节进行社会实践,对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图。
(一)人数统计表: (二)各年龄段人数频率分布直方图:
(Ⅰ)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图,并求出、、的值;
(Ⅱ)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动。若将这个人通过抽签分成甲、乙两组,每组的人数相同,求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率。
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【题目】已知产品的质量采用综合指标值进行衡量,为一等品;为二等品;为三等品.我市一家工厂准备购进新型设备以提高生产产品的效益,在某供应商提供的设备中任选一个试用,生产了一批产品并统计相关数据,得到频率分布直方图:
(1)估计该新型设备生产的产品为二等品的概率;
(2)根据这家工厂的记录,产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比值)及单件售价情况如下:
一等品 | 二等品 | 三等品 | |
销售率 | |||
单件售价 | 元 | 元 | 元 |
根据以往的销售方案,未售出的产品统一按原售价的全部处理完.已知该工厂认购该新型设备的前提条件是,该新型设备生产的产品同时满足下列两个条件:
①综合指标值的平均数不小于(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②单件平均利润值不低于.
若该新型设备生产的产品的成本为元/件,月产量为件,在销售方案不变的情况下,根据以上图表数据,分析该新型设备是否达到该工厂的认购条件.
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【题目】直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】给出下列命题:
①存在实数x,使 ;
②若α,β是第一象限角,且α>β,则cosα<cosβ;
③函数y=sin2x的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象;
④定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(﹣x),当0≤x≤1时,f(x)=2x,
则f(2015)=﹣2.
其中正确命题是(写出所有正确命题的序号).
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【题目】已知函数f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+ ,kπ+ ],k∈z
B.[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z
C.[2kπ+ ,2kπ+ ],k∈z
D.[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈z
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