Question

3．已知不等式3x＜2+ax²的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x不等式：ax²-（ac+b）x+bc≥0．

Answer 1

分析 （1）把不等式化为一般形式，根据不等式对应方程的实数根，求出a、b的值；
（2）由a、b的值，把不等式ax²-（ac+b）x+bc≥0化为x²-（c+2）x+2c≥0，讨论c的值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（1）不等式3x＜2+ax²的可化为：
ax²-3x+2＞0，
且不等式对应方程的两个实数根为1和b，
由根与系数的关系，得a=1，b=2；
（2）由a=1，b=2得，
不等式ax²-（ac+b）x+bc≥0化为
x²-（c+2）x+2c≥0，
即（x-c）（x-2）≥0，
当c=2时，不等式为（x-2）²≥0，解得x∈R，
当c＞2时，解不等式得x≤2或x≥c，
当c＜2时，解不等式得x≤c或x≥2；
综上，c＜2时，不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}，
c=2时，不等式的解集为R，
c＞2时，不等式的解集是{c|x≤2或x≥c}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．