Question

16．已知|$\overrightarrow a$|=3，|$\overrightarrow b$|=2，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为60⁰，如果（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），则m值为$\frac{29}{42}$．

Answer 1

分析 由（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），我们易得到（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，结合|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，我们易得到一个关于m的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴|$\overrightarrow{a}$|²=9，|$\overrightarrow{b}$|²=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
则（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）
=3m|$\overrightarrow{a}$|²-5|$\overrightarrow{b}$|²+（5m-3）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=27m-20+3（5m-3）
=42m-29，
又∵（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$）⊥（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴42m-29=0，
∴m=$\frac{29}{42}$．
故答案为：$\frac{29}{42}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量数量积坐标表示的应用，其中根据（3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$）⊥（m$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），得到（3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$）•（m$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，进而得到关于m的方程，是解答本类问题的关键．