【题目】已知函数.
(1)当时,直线与相切,求的值;
(2)若函数在内有且只有一个零点,求此时函数的单调区间;
(3)当时,若函数在上的最大值和最小值的和为1,求实数的值.
【答案】(1); (2)单调递增区间为,,单调递减区间为; (3).
【解析】
(1)由求出切点坐标,代入切线方程即可得结果;(2)先证明当时不合题意,当时,根据单调性可得,要使函数在内有且只有一个零点,则须,求得,进而可得结果;(3)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为,且,,分类讨论求出最大值与最小值,解方程即可得结果.
.
(1),
则,所以,,
当,所以,解得.
(2),
由,得到,,
当时,在区间上恒成立,
即函数在区间上单调递增,
又因为函数的图象过点,即,
所以函数在内没有零点,不合题意,
当时,由得,即函数在区间上单调递增,
由得,即函数在区间在上单调递减,
且过点,要使函数在内有且只有一个零点,则须,
即,解得,
综上可得函数在内有且只有一个零点时,
此时函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(3)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
此时函数有两个极值点,极大值为,极小值为,
且,.
①当即时,在上单调递增,在上单调递减,,
又即
所以,解得(舍).
②当即时,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增 即,所以.
若,即时,,所以,
解得(舍).
若,即时,,所以,
解得.
综上,.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点的直线l的参数方程为(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若成等比数列,求a的值。
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【题目】为了适应新高考改革,某校组织了一次新高考质量测评(总分100分),在成绩统计分析中,抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图,学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”,分数不低于87分的为“达标”.
(1)求这组数据的众数和平均数;
(2)在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人,求至少有1人“达标”的概率.
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【题目】定义“矩阵”的一种运算,该运算的意义为点在矩阵的变换下成点设矩阵
已知点在矩阵的变换后得到的点的坐标为,试求点的坐标;
是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这样的直线;若不存在,则说明理由.
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【题目】如图,长方体中,,,点,,分别为,, 的中点,过点的平面与平面平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.
(1)在图1中,画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(不必说明画法与理由);
(2)在图2中,求证:平面.
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【题目】现代城市大多是棋盘式布局(如北京道路几乎都是东西和南北走向).在这样的城市中,我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离(位移),而是实际路程(如图).在直角坐标平面内,我们定义,两点间的“直角距离”为:.
(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.(格点指横、纵坐标均为整数的点)
(2)求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程,并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.(在以下三个条件中任选一个做答)
①,,;
②,,;
③,,.
(3)写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标,并说明理由(格点指横、纵坐标均为整数的点).
①到,两点“直角距离”相等;
②到,两点“直角距离”和最小.
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【题目】已知曲线的方程为,集合,若对于任意的,都存在,使得成立,则称曲线为曲线,下列方程所表示的曲线中,是曲线的有______(写出所有曲线的序号)
①;②;③;④;⑤.
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