Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=

2

，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

Answer 1

分析：（I） 取AC中点F，连接MF，BF，证明四边形MNBF为平行四边形，则可证行线面平行的判定定理成立的条件．
（II）设A₁到平面AB₁C₁的距离为h，从题设条件知道，本小题宜用等体积法求解．
（III）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，又点D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜边A₁B₁的中点，故有C₁D⊥平面A₁B₁BA，再由作二面角平面角的作法作出平面角，此角所在三角形是直角三角形，在此直角三角形中求该角的三角函数值再由值求角．

解答：解：（I）证明：取AC中点F，连接MF，BF，
在三角形AC₁C中，MN∥C₁C且MF=

1

2

C1C，BN∥C1C且BN=

1

2

C1C，
∴MF∥BN且MF=BN
∴四边形MNBF为平行四边形
∴BF∥MN
∵BF?平面ABC
MN?平面ABC不成立
∴MN∥平面ABC（6分）
（II）设A₁到平面AB₁C₁的距离为h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁
∴VA1-AB1C1=VA-A1B1C1
∴

1

3

S△AB1C1•h=

1

3

S△A1B1C1•A1A
∵S△AB1C1=

1

2

B1C1•AC1=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S△A1B1C1=

1

2

B1C1•A1C1=

1

2

，AA1=

2

∴h=

S△A1B1C1

S△AB1C1

•A1A=

6

3

．    (10分)
（III）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，
又点D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜边A₁B₁的中点．
则C₁D⊥A₁B₁
所以，C₁D⊥平面A₁B₁BA；
平面A₁B₁BA内，过D作DE⊥AB₁，垂足为E，连接C₁E，则C₁E⊥AB₁；
∴∠C₁ED是二面角，A₁-AB₁-C₁的平面角，
在Rt△DEC1中，tan∠C1ED=

C1D

DE

=

2 2

2 2 B1D

=

2

，∠C1ED=arctan

2，

所以，二面角，A₁-AB₁-C₁的大小为arctan

2

．（13分）

点评：考查线面平行的判定定理，以及点到面的距离的求法，二面角的求法，本题设及知识面广，方法选择灵活，是立体几何中的一道少见的好题．