【题目】已知F(x)=,x∈(-1,+∞).
(1)求F(x)的单调区间;
(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值.
【答案】(1)单调递增区间为(-1,0)和(4,+∞),单调递减区间为(0,4);(2)最大值为,最小值为
.
【解析】
(1)由微积分基本定理可得出F(x)的表达式,进而求出其导数F′(x),令F′(x)>0,F′(x)<0解次不等式即可得出F(x)的单调增区间和单调减区间。
(2)由(1)可得F(x)在[1,5]上的单调性,即可得出其最值。
解:
(1)F′(x)=′=x2-4x,
由F′(x)>0,即x2-4x>0,得-1<x<0或x>4;
由F′(x)<0,即x2-4x<0,得0<x<4,所以F(x)的单调递增区间为(-1,0)和(4,+∞),单调递减区间为(0,4).
(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减,在[4,5]上递增.
因为F(1)=-2+
=
,F(4)=
×43-2×42+
=-
,F(5)=
×53-2×52+
=-6,
所以F(x)在[1,5]上的最大值为,最小值为-
.
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【题目】电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟) | 广告播放时长(分钟) | 收视人次(万) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(13分)
(I)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
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【题目】某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.
(1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率.
(2)从该班中任意选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
(3)从该班中任意选两名学生,用η表示这两人参加活动次数之和,记“函数f(x)=x2﹣ηx﹣1在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是( )
A. “若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B. “若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C. “若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D. 命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
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【题目】已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时, x2+ln x<
x3.
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【题目】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,sinB= ,
(1)求 +
的值;
(2)若
=12,求a+c的值.
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