Question

（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，定义集合：A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤

2

}．设M_t，m_t分别表示集合A_t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M_t-m_t．则
（1）函数h（t）的最大值是

2

；
（2）函数h（t）的单调递增区间为

（2k-1，2k），k∈Z

．

Answer 1

分析：（1）理清A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤

2

}的含义为：表示以P点为圆心，

2

为半径的圆及其内部函数y=sin

πx

2

的图象上所有的点的纵坐标的集合，再利用正弦函数的周期性、单调性与最值可求得M_t，m_t，从而可求得函数h（t））=M_t-m_t的最大值；
（1）由（1）结合正弦函数的周期性与单调性即可求得函数h（t）的单调递增区间．

解答：解：A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤

2

}表示以P点为圆心，

2

为半径的圆及其内部函数y=sin

πx

2

的图象上所有的点的纵坐标的集合，

∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，设O（0，0），A（1，1），B（2，0），则AO=AB=

2

，
∴M_t=

1，4k≤t≤4k+2(k∈Z) f(t)+ [2-(x0-t)2] ，4k-2≤t＜4k(k∈Z)

，
其中x₀是最高点Q的横坐标，
同理，m_t=

-1，4k-2≤t≤4k(k∈Z) f(t)- [2-(x1-t)2] ，4k≤t＜4k+2(k∈Z)

；
其中x₁是最低点Q的横坐标．
∴函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），
单调增区间是（2k-1，2k）．

点评：本题考查函数的值域，着重考查抽象函数的理解与应用，明确A_t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤√2}的含义是难点，也是解决问题的关键，考查抽象思维能力与综合运算能力，属于难题．