Question

8．已知函数f（x）=x|x|，存在x∈[1，a+1]时，使f（x²+a）＜4f（x）成立，则a的取值范围是（0，1）．

Answer 1

分析 根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为x+2a＞2x，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．

解答 解：∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）=x|x|奇函数，
当x≥0时，f（x）=x²为增函数，
∴函数f（x）在R上增函数，
∵不等式f（x²+a）＜4f（x）可化为f（x²+a）＜4x•|x|=2x•|2x|=f（2x），
∴存在x∈[1，a+1]，不等式x²+a＜2x成立，
∴a＜-x²+2x=-（x-1）²+1＜1
∵a+1＞1，
∴a＞0，
故实数a的取值范围是（0，1）
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性质的应用，以及恒成立的问题，属于中档题．