Question

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（1）已知函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在R上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²-2x，求函数g（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，可得g（x）+g（-x）=2，根据x∈（0，+∞）时的解析式，即可求得结论；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
即：

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2，
解得m=1
（2）x＜0时，-x＞0，且g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²-2x，
所以g（x）=2-g（-x）=-x²-2x+2
当x=0时，g（0）+g（-0）=2⇒g（0）=1；
因此g（x）=

-x2-2x+2，x＜0 1，x=0 x2-2x，x＞0

点评：本题考查函数的对称性，考查函数的解析式，考查恒成立问题，正确求出函数的最值是关键．