Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A（﹣ ， ），离心率为 ，点F1 ， F2分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： ，a2﹣b2=c2，得b=c，

因为椭圆过点A（﹣ ， ），

则 + =1，

解得c=1，所以a2=2，

所以椭圆C方程为

（2）解：当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，

易得 ， ．

当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）

与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

令M（x1，y1），N（x2，y2），则 ，x1x2=1，

|MN|= ．即有 ，

∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣ （x﹣1），

将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，

令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4= ，x3x4= ，

由弦长公式|PQ|= ，

代入计算可得 ，

∴四边形PMQN的面积S= |MN||PQ|= ，

令1+k2=t，（t＞1），

上式 = ，

所以 ．最小值为

【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．