Question

已知

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的减区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的坐标求得函数f（x）得解析式，然后利用两角和公式对解析式进行化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最小正周期，根据正弦函数的单调性求得三角函数递减时2x+

π

4

的范围，进而确定x的范围，求得函数的减区间．
（2）根据x的范围确定2x+

π

4

的范围，进而确定sin（2x+

π

4

）的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答：解：由题意，得f(x)=

a

•

b

=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π，

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
解得

π

8

+kπ≤x≤

5

8

π+kπ，k∈Z
∴f（x）的减区间为：[

π

8

+kπ，

5

8

π+kπ]，k∈Z
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
故f(x)max=f(

π

8

)=

2

，f(x)min=f(

π

2

)=-1

点评：本题主要考查了三角函数的最值，平面向量积的运算，三角函数的周期性以及两角和公式的化简求值．考查了学生对基础知识点综合的运用．