【答案】
分析:(1)依题作点E、G在平面DCC
1D
1内的正投影E
1、G
1,则E
1、G
1分别为CC
1、DD
1的中点,四边形FGAE在平面DCC
1D
1内的正投影为底面边界即为四边形DE
1FG
1,面积为
,由题意可证EE
1为该棱锥的高,代入体积公式可求;
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD
1所在直线分别作x轴,y轴,z轴;要证直线FG
1⊥平面FEE
1?FG
1⊥FE,FG
1⊥FE
1?,利用空间向量的数量积可证;
(3)异面直线E
1G
1与EA所成角?
所成的角,利用公式
可求;
解答:解:(1)依题作点E、G在平面DCC
1D
1内的正投影E
1、G
1,
则E
1、G
1分别为CC
1、DD
1的中点,
连接EE
1、EG
1、ED、DE
1,
则所求为四棱锥E-DE
1FG
1的体积,
其底面DE
1FG
1面积为
=
,(3分)
又EE
1⊥面DE
1FG
1,EE
1=1,
∴
.(6分)
(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD
1所在直线分别作x轴,y轴,z轴,
得E
1(0,2,1)、G
1(0,0,1),又G(2,0,1),F(0,1,2),E(1,2,1),
则
,
,
,
∴
,
,
即FG
1⊥FE,FG
1⊥FE
1,
又FE
1∩FE=F,∴FG
1⊥平面FEE
1.(10分)
(3)
,
,
则
,
设异面直线E
1G
1与EA所成角为θ,则
.(14分)
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理,利用空间向量的方法把求异面直线所成的角转化为向量所成的角,锥体的体积的求解,关键是确定该棱锥的高及底面.