Question

（2012•江苏二模）如图，已知矩形油画的长为a，宽为b．在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S．
（1）用x，y，a，b表示S；
（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据图形由9个小矩形构成，分别求出面积求和即可；
（2）依题意，即求4xy的最大值，根据基本不等式可得S≥

abxy

+4xy+ab，当且仅当bx=ay时等号成立，令t=

xy

，则t＞0，上述不等式可以为4t²+4

ab

t+ab-S≤0，解不等式可求出四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值．

解答：解：（1）壁画由9个小矩形构成，其面积为9个矩形的面积和
∴壁画的总面积为S=2bx+2ay+4xy+ab，x，y＞0
（2）依题意，即求4xy的最大值
因为x，y＞0，所以2bx+2ay≥2

2bx•2ay

，从而S≥4

abxy

+4xy+ab，当且仅当bx=ay时等号成立
令t=

xy

，则t＞0，上述不等式可以为4t²+4

ab

t+ab-S≤0
解得

- S - ab

2

≤t≤

S - ab

2

因为t＞0，所以t≤

S - ab

2

，从而xy≤

ab+S-2 abS

4

由

bx=ay S=2bx+2ay+4xy+ab

解得

x= abS -ab 2b y= abS -ab 2a

（舍去负值）
所以当x=

abS -ab

2b

，y=

abS -ab

2a

时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab+S-2

abS

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，解题的关键是解方程，属于中档题．