Question

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v（t）=

1 240 (-t2+15t-51)et+50(0＜t≤9) 4(t-9)(3t-41)+50(9＜t≤12)

．
（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），问一年内那几个月份是枯水期？
（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e³=20计算）．

Answer 1

分析：（1）对t分段讨论，分别令v（t）＜0，解不等式求出t的范围即得到枯水期对应的月份．
（2）据（1）判断出最大值所在的可能月份，求出v（t）的导数，求出导函数大于0和小于0的t的范围即函数的单调区间，求出最值．

解答：解：（1）当0＜t≤9时，v（t）=

1

240

（-t²+15t-51）e^t+50＜50，
即t²-15t+51＞0，
解得t＞

15+ 21

2

或t＜

15- 21

2

，
从而0＜t＜

15- 21

2

≈5.2．
当9＜t≤12时，v（t）=4（t-9）（3t-41）+50＜50，
即（t-9）（3t-41）＜0，
解得9＜t＜

41

3

，所以9＜t≤12．
综上，0＜t＜5.2或9＜t≤12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月．
（2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份．
v′（t）=

1

240

（-t²+13t-36）e^t=-

1

240

e^t（t-1）（t-9），
令v′（t）=0，解得t=9或t=4（舍去），
又当t∈（6，9）时，v′（t）＞0；当t∈（9，10）时，v′（t）＜0．
所以，当t=9时，v（t）的最大值v（9）=

1

240

×3×e⁹+50=150（亿立方米），
故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．

点评：解决分段函数的有关问题，有关分段研究，再将求出的结果求并集；解决实际问题，要注意最后将数学问题还原到实际问题．