Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，若2x+

3

y的最大值为10，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由离心率算出a=2c且b=

3

c，因此通过三角换元得2x+

3

y=5csin（θ+φ），其中tanφ=

4

3

．根据最大值为10得到c=2，由此即可得到该椭圆的标准方程．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵离心率e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，可得b²=a²-c²=3c²，得b=

3

c
点P（x，y）是椭圆上的一个动点，
设x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=

3

csinθ
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=

4

3

∵2x+

3

y的最大值为10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2

3

因此椭圆的标准方程为：

x2

16

+

y2

12

=1

点评：本题给出离心率为

1

2

，其上一点P（x，y）满足2x+

3

y的最大值为10的情况下求椭圆方程，着重考查了椭圆的基本概念、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．