Question

20．（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-$\frac{1}{4}$，求抛物线的标准方程；
（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=$\frac{1}{2}$，得到抛物线方程；
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），代入点（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线的准线方程为x=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
故所求抛物线的标准方程为y²=x．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），
代入点（$（-\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$），（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{2m-3n=1}\\{\frac{5m}{3}-2n=1}\end{array}\right.$，∴m=1，n=$\frac{1}{3}$，
∴双曲线的标准方程为x²-$\frac{1}{3}$y²=1．

点评 本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，属于基础题．