Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数h（x）=t-f（x）（x∈[-1，1]），若函数h（x）的做大值为

1

4

，求实数t的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设出f（x）=ax²+bx+c，f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，根据已知条件即可求出a=1，b=-1，c=1，从而得到f（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）求出h（x）=-x²+x+t-1，容易得到x=

1

2

时h（x）取到最大值t-

3

4

=

1

4

，从而得到t=1．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c；
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x；
∴

2a=2 a+b=0

；
∴

a=1 b=-1

；
由f（0）=1得，c=1；
∴f（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）h（x）=-x²+x+t-1=-(x-

1

2

)2+t-

3

4

；
∴x=

1

2

时，h（x）最大值为t-

3

4

=

1

4

；
∴t=1．

点评：考查二次函数的一般形式，多项式相等时对应系数的关系，以及配方法求二次函数的最值．