Question

函数y=log₂x+log_x2+1的值域是

（-∞，-1]∪[3，+∞）

．

Answer 1

分析：根据解析式先求出函数的定义域，再设t=log₂x并求出t的范围，然后根据对数运算代入解析式，利用基本不等式求出t+

1

t

的范围，进而求出函数的值域．

解答：解：由题意知，函数的定义域是（0，1）∪（1，+∞），
设t=log₂x，则t≠0，log_x2=

1

t

，∴y=log₂x+log_x2+1=t+

1

t

+1，
根据基本不等式知，当t＞0时，有t+

1

t

≥2；当t≤0时，有t+

1

t

≤-2，
∴y≤-1或y≥3，
∴函数的值域为：（-∞，-1]∪[3，+∞），
故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了有关对数函数的值域求法，考查了换元法，对数的运算，以及基本不等式的应用．