【题目】已知函数的图象与
轴的交点为
,它在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和
.
(1)求解析式及
的值;
(2)求的单调增区间;
(3)若时,函数
有两个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由图象得出A、T的值,求出ω、φ的值,即得f(x)与x0的值;(2)利用正弦函数的单调性可求得f(x)的单调增区间;(3)根据自变量的范围,确定函数的零点,即求g(x)=0的根,进一步求出实数m的取值范围.
(1)由题意知,A=2,,∴T=π,
∴ω;
又∵图象过点,
∴2sinφ=,∴sinφ
;
又∵|φ|,∴φ
;
∴f(x)=2sin(x
);
又∵(x0,2)是f(x)在y轴右侧的第1个最高点,
∴2x0,解得x0
;
(2)由2kπ2x
2kπ
(k∈Z)得:kπ
x≤kπ
(k∈Z),
∴f(x)的单调增区间为[kπ,kπ
](k∈Z);
(3)∵在x∈时,函数
有两个零点
∴=0有两个实数根,即函数图象有两个交点.
∴sin(2x)
在
上有两个根
∵x∈
∴2x∈[
,
]
∴结合函数图象,函数有两个零点的范围是
.
∴m∈..
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【题目】若函数y=f(x)在区间D上是增函数,且函数y=在区间D上是减函数,则称函数f(x)是区间D上的“H函数”.对于命题:
①函数f(x)=-x+是区间(0,1)上的“H函数”;
②函数g(x)=是区间(0,1)上的“H函数”.下列判断正确的是( )
A. 和
均为真命题 B.
为真命题,
为假命题
C. 为假命题,
为真命题 D.
和
均为假命题
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【题目】已知非零向量,
满足(2
-
)⊥
,集合A={x|x2+(|
|+|
|)x+|
||
|=0}中有且仅有唯一一个元素.
(1)求向量,
的夹角θ;
(2)若关于t的不等式|-t
|<|
-m
|的解集为空集,求实数m的值.
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【题目】已知集合.对于
的一个子集
,若存在不大于
的正整数
,使得对于
中的任意一对元素
,都有
,则称
具有性质
.
(Ⅰ)当时,试判断集合
和
是否具有性质
?并说明理由.
(Ⅱ)若时,
①若集合具有性质
,那么集合
是否一定具有性质
?并说明理由;
②若集合具有性质
,求集合
中元素个数的最大值.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(2-x)=f(x-1),且方程f(x)=x有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=kx+1,若F(x)=g(x)-f(x),求F(x)在[1,2]上的最小值;
(3)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[2m,2n],若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.
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