Question

已知sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若sin（α-β）=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），β∈（π，

3π

2

），求cosβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知式子两边平方易得sinα=

1

2

；
（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系可得cosα和cos（α-β）的值，代入cosβ=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）计算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，
∴两边平方可得1+2sin

α

2

cos

α

2

=

3

2

，
∴sinα=2sin

α

2

cos

α

2

=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）sinα=

1

2

，又α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

2

，∴α=

5π

6

又∵β∈（π，

3π

2

），∴-

3π

2

＜-β＜-π，
∴-

2π

3

＜α-β＜-

π

6

，
又∵sin（α-β）=-

3

5

，∴cos（α-β）=

4

5

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=-

3

2

×

4

5

+

1

2

×(-

3

5

)=-

4 3 +3

10

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．