Question

已知函数f（x）的定义域为R．若?常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列三个函数：
①f（x）=2^x；     ②f（x）=sinx；     ③f（x）=x³-x．
其中，具有性质P的函数的序号是______．

Answer 1

①因为f（x）=2^x 是R上的增函数，所以满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）具有性质P．
 ②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）
具有性质P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）
是递减函数．
即在（-

3

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，

3

3

）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞

3

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 就可以了，如c=1就满足了．
所以，满足f（x+c）＞f（x-c）．
故答案为 ①③．