Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

分析：（1）利用方程有两个实数根，可得判别式大于大于0，即可求得实数k的取值范围；
（2）利用韦达定理计算

x1

x2

+

x2

x1

-2，进而转化为k+1能整除4，即可求得结论．

解答：解：（1）∵一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0有两个实数根，
∴k≠0，且△=16k²-16k（k+1）=-16k≥0，
∴k＜0．------------（3分）
（2）∵

x1

x2

+

x2

x1

-2=

x12+x22

x1x2

-2=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4
=

4k

k+1

-4=

4k-4(k+1)

k+1

=-

4

k+1

，------------------（7分）
∴要使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值为整数，只须k+1能整除4．
而k为整数，∴k+1只能取±1，±2，±4．
又∵k＜0，∴k+1＜1，
∴k+1只能取-1，-2，-4，
∴k=-2，-3，-5．----------------（10分）

点评：本题考查韦达定理的运用，考查整除性，考查学生的计算能力，属于中档题．