Question

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）连接D₁B、BC₁，则易得EF∥D₁B故要证EF⊥B₁C只需证D₁B⊥B₁C则根据正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性质易得D₁B在平面BC₁上的射影为BC₁且BC₁⊥B₁C故根据三垂线定理即可得证．
（2）根据图形分析可知所求的二面角F-EG-C₁的大小为钝角故可先求求其补角即二面角F-EG-D的大小．则根据正方体的性质可得取DC的中点M，连接FM，则FM⊥DC．过M做MN⊥EG于N点，连接FN，由三垂线定理可证FN⊥EG故∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C₁的平面角．然后结合题中的条件在Rt△FMN中，∠MNF=90°中即可求出∠MNF的三角函数值则二面角F-EG-C₁的平面角即为此角的补角．
另外此题也可用空间向量来求解．可建立如图所示的空间直角坐标系且令AB=4
（1）可求出

EF

=(2，2，-2)，

B 1C

=(-4，0，-4)再利用向量数量积的坐标计算可得

EF

•

B1C

=0即可证得EF⊥B₁C．
（2）求出平面FEG的法向量为

n1

平面C₁EG的法向量

n2

然后利用向量的夹角公式求出cos＜

n1

，

n2

＞．如果cos＜

n1

，

n2

＞＞0则所求的二面角F-EG-C₁的大小为π-＜

n1

，

n2

＞如果cos＜

n1

，

n2

＞＜0则则所求的二面角F-EG-C₁的大小为＜

n1

，

n2

＞．

解答：解：
解法一：
（Ⅰ）连接D₁B、BC₁
∵E、F是D₁D、BD的中点，
∴EF∥D₁B，且EF=

1

2

D1B
又∵D₁C₁⊥平面BC₁
∴D₁B在平面BC₁上的射影为BC₁．
∵BC₁⊥B₁C
∴由三垂线定理知B₁C⊥D₁B
∴EF⊥B₁C
（Ⅱ）取DC的中点M，连接FM，则FM⊥DC．过M做MN⊥EG于N点，连接FN
∴由三垂线定理可证FN⊥EG
∴∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C₁的平面角
设正方体的棱长为4，则FM=2
在Rt△EDG中，△EDG～△MNG，
∴MN=

MG•ED

EG

=

1×2

13

=

2 13

13

． 
在Rt△FMN中，∠MNF=90°
∴tan∠MNF=

FM

MN

=

13

∴∠MNF=arctan

13

∴二面角F-EG-C₁的大小为π-arctan

13

解法2：建立如图直角坐标系，令AB=4，则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D₁（0，0，4），C₁（0，4，4），E（0，0，2），F（2，2，0），G（0，3，0），B₁（4，4，4）．          
（1）∵

EF

=(2，2，-2)，

B 1C

=(-4，0，-4)
∵

EF

•

B1C

=0∴EF⊥B1C
（3）设平面FEG的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，平面C₁EG的法向量

n2

=(1，0，0)

EF

=(2，2，-2)

EG

=(0，3，-2)
∵

EF

•

n1

=2x1+2y1-2z1=0

EG

•

n1

=3y1-2z1=0
∴

n1

=(1，2，3)cosθ=

n1 • n2

|n1|•|n2|

=

1

14 × 1

=

14

14

故二面角F-EG-C₁的大小为π-arccos

14

14

点评：本题主要考察了线线垂直的证明和二面角的求解．解题的关键是关于线线垂直的证明可利用三垂线定理证（如法一）也可以利用空间向量来证（如法二）而对于二面角的求解可采用定义法即找到一个面到另一个面的一条垂线然后再利用三垂线定理即可作出二面角的平面角，另外也可利用空间向量求解二面角即求出二面角的两个半平面的法向量然后利用向量的夹角公式求出法向量的夹角的余弦值再结合图形特征和法向量的夹角的余弦值的正负得出二面角的大小是法向量的夹角还是其补角！