Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（c∈R，n=1，2，3，…）．且S₁，，成等差数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（n=1，2，3，），
∴（n=1，2，3，）．（1分）
∵S₁，，成等差数列，
∴．（3分）
∴．（5分）
∴c=1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（n=1，2，3，）．
∴数列为首项是，公差为1的等差数列．（8分）
∴．
∴S_n=n²．（10分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（12分）
当n=1时，上式也成立．（13分）
∴a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
分析：（Ⅰ）由题设条件知（n=1，2，3，），．所以．由此可得c=1．
（Ⅱ）由题意知（n=1，2，3，）．所以数列为首项是，公差为1的等差数列．由此可推出a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选取．